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eliax

Prueba matemática de que 0.9999... = 1 (increíble pero cierto, con pruebas)
eliax id: 8184 josé elías en oct 14, 2010 a las 11:39 AM (11:39 horas)
0.9999... = 1He aquí una de las pruebas matemáticas más asombrosas que incluso a los más experimentados en matemáticas deja perplejos (y que acá podrá entender cualquier persona que sepa lo más básico del álgebra): El número 0.9999... es idéntico al número 1.

He aquí la prueba desde dos puntos de vistas distintos:


Prueba por fracciones y división larga:

0.9999... = 1

Prueba por manipulación de dígitos:

0.9999... = 1


Como pueden observar, literalmente el número aparentemente infinito 0.9999999... es en realidad el número 1. Y no solo eso, sino que esto ha sido demostrado utilizando todo tipo de formas matemáticas y herramientas, inclusive con formas de números alternativos.

El truco está en entender que existe más de una forma de representar un número, y que lo que vemos como 0.999999999... no es más que un símbolo que representa en realidad el número 1.

Pero no crean que por simplemente yo escribir el párrafo anterior que soy ningún genio matemático, a mí mismo este dato me dejó tan sorprendido la primera vez que lo vi como estoy seguro los dejará a varios de ustedes ahora mismo, en particular los aficionados a las matemáticas que nunca vieron esto antes, y que sin duda (como traté de hacerlo yo) tratarán de encontrar algún "truco" que invalide esto en las pruebas acá presentadas... :)

Lean más respecto a este tema en este enlace en Wikipedia en inglés

autor: josé elías

Comentarios

  • ..

    • 0.9 periodica + 0.0 periodica 1 = 1

      Luego no son iguales.

      Un dolar elevado a cero es igual a uno, un millon tambien, pero eso no significa que sean la misma cantidad.

      matematicas basicas.

      • Estas equivocado, 0.0peridica1 es 0 :)

      • dos por tre llueve, el 4 le come al doa... 7 mas 6 33 y truco carajo... yo digo no???0.9999999999999999999999999999999 y uno q me yebaba????

        • Qué dijo???

  • Corrijo, confío

  • Increible !!!

    Me reunire con unos amigos q saben mucho mas matematicas que yo a ver como lo toman ellos , pero a mi medio 1... Wao!!!

    A la verdad que uno nunca termina de saber nada.

  • y entonces el dos?

    • En realidad (y este es otro dato curioso) es que esto sucede con *cualquier* número, salvo el cero.

      Así que por ejemplo, 736.83999999... = 736.84 :)

      • elias, no tiene sentido esto que dices de que "esto sucede con *cualquier* número, salvo el cero. Así que por ejemplo, 736.83999999... = 736.84"
        la afirmación seria con cualquier numero periodico... pero me gustaria ver como llegaste a esa conclusion de que 736.83999... = 736.84?

  • Interesante entonces 0.9 infinito es igual a 1, dato curioso guardado en notas importantes. :)

  • Hace tiempo habia visto eso...
    Creo que esta mal =)

    Por ejemplo... ahi donde viene

    1/9 = .1111...

    De hecho creo que no es una igualdad en si... si no que el .1111... tiende a 1/9 pero nunca lo alcanza..
    igual con cualquier otra fracción
    por ejm:
    .333... tiende a 1/3 ... osea no es igual a 1/3


    Tambien con el otro ejemplo tengo problemas...
    al multiplicar...
    10 por .999... El resultado tendría un digito menos que el .999... original... por lo que el resultado de la resta no sería uno

    El resultado sería más bien:
    8.999...1

    Bueno esa es la forma en la que siempre lo he visto...
    Desde que veo que igualan
    1 = .9999999999999999999999999...

    Mi cerebro se niega a aceptar que sea correcto xD


    Disculpen mi cochinero de redacción... espero se entienda lo que quize decir

    • Cometí un error... aqui lo corrijo
      10 por .999... El resultado tendría un digito menos que el .999... original... por lo que el resultado de la resta no sería NUEVE

    • Infinito menos 1 es infinito. De ahí que no tenga un dígito menos.

      Lo que no se es de donde sacan que infinito menos infinito es igual a 0, cuando en realidad es una indeterminación matemática.

      • en la practica INF - INF = ?. esto es debido a la naturaleza del infinito, porque INF no es una cifra sino una representancion. por lo tanto hay muchos infinitos todos distintos entre si, por eso la diferencia entre ellos es indefinida

        • Estas equivocado, es verdad que infinito no tiene un valor determinado pero es infinito es infinito, no hay 2 infinitos distintos. por ejemplo:

          3/1.000=3
          3/0.500=6
          3/0.250=12
          3/0.125=24
          3/0.000=INF

          2/1.000=2
          2/0.500=4
          2/0.250=8
          2/0.125=16
          2/0.000=INF

          Es verdad que aumenta más rápido el 3 ya que está adelantado en un paso a nivel exponencial. Pero como no hay tiempo, el calculo es instantaneo y no hay quien arranque antes o después. No hay limite y eso es el infinito.

          • creo q no me hice entender. por supuesto que INF es INF donde lo pongan, pero en la practica INF puede representar diversas magnitudes las cuales pueden o no tener diferencia entre si. pero al ser INF un numero muy grande por definicion no se sabe que tan grande es, lo unico q se sabe es que es muy grande y es por esto que la diferencia INF - INF = ? puesto que esta diferencia puede ser menor, igual o mayor a cero y nunca se tendra certeza al menos que sea posible aplicar limites matematicos a la expresion que arroja este resultado.

          • El conjunto de los números naturales es infinito, el conjunto de números reales también es infinito, pero por lógica el conjunto infinito de los reales será más 'grande' que el de los naturales.

            Also, lo del 0.9999... = 1 creo que formaba parte de lo que se dice límites o algo así.

    • en parte tienes razon con lo el acercamiento, pero matamaticamente es correcto. estamos hablando de una sucesion periodica INFINITA, y por lo tanto siempre sera igual. el numero 0.11111111 se acerca a 1/9 pero el numero 0.1111111... es igual a 1/9 porque es infinitesimal. una forma de comprender esto es asimilar el significado de la palabra infinito. dos rectas paralelas nunca se cruzan pero matematicamente, se cruzan en el infinito.

      con respecto a la segunda prueba, al multiplicar 10 x el numero 0.9999999.... es cierto q tiene un decimal menos, pero como tiene infinitos decimales queda igual de la misma forma que INF -1 = INF.

      espero habler aclarado tu duda.

    • No es que .1111111... nunca alcance a 1/9, es que simplemente si quieres escribir 1/9 como numero decimal, nunca terminarías de escribirlo.

    • existe una denominación para este tipo de números, que se acercan infinitamente a la unidad pero nunca la alcanza, claro que el ejemplo se limita a un par de dígitos de una cifra infinita.
      En cierta forma es cierto .... si uno se cansa de hacer un calculo infinito y dice bueno es casi 1 jajaja

    • Cito:
      ****************************************
      Tambien con el otro ejemplo tengo problemas...
      al multiplicar...
      10 por .999... El resultado tendría un digito menos que el .999... original... por lo que el resultado de la resta no sería uno

      El resultado sería más bien:
      8.999...1
      ****************************************

      Tenemos que:
      X = 0.999999999...9999...99999...(INF)

      Diez veces X (siendo X = 0.9999999...999...(INF)
      10X = 9.9999999999999...9999...999(INF)

      Entonces,
      10X - X = 9.9999999...9999...(INF) - 0.9999999...999...999(INF)

      9X = 9

      X = 1

      Al multiplicar 0.9999(INF) por 10, el 9.999(INF) resultante sigue siendo infinito.

      Si me he equivocado en algo, favor de corregirme.

      • Si lo hacen en una calculadora científica, les dará 8.99999...1 porque si en la calculadora digitamos 0.99999999 hasta que se llene la pantalla, no será 0.99999 infinito, sino un simple número de 10 dígitos 0.9999999999 (generalmente las calculadoras no reciben más de 10 dígitos).

        También do todos modos, con el 8.9999999991 hagamos esta prueba:

        Si hacemos la siguiente operación,
        9.999 ( 3 dígitos después del decimal)
        0.999999 (6 dígitos después del decimal)

        y decimos,
        9.999 - 0.999999 = 8.999001

        O también,
        9.999 - 0.9999 = 8.9991
        9.999 - 0.99999 = 8.99901
        9.999 - 0.999999 = 8.999001
        9.999 - 0.9999999 = 8.9990001

        y seguirán agregándose ceros, mientra más grande sea el 0.9. Pero sucede que el 0.9 de esta prueba matemática, es en realidad 0.99999...(INF), por lo que obtendríamos lo siguiente:

        9.999 -0.99999999...(INF) = 8.9990000...0000...(INF)y luego 1.

        En pocas palabras tendríamos un 8.99900000...0000(INF) con un 1 que, me permito decir, nunca llegaría, ya que los ceros serían infinitos.

        En la prueba por división larga (1/9) sí resulta ser 1. Siempre y cuando 0.11111... sea infinitesimal.

        • Oops, se me olvidó agreagar aquí:

          En pocas palabras tendríamos un 8.99900000...0000(INF) con un 1 que, me permito decir, nunca llegaría, ya que los ceros serían infinitos.

          y con un 8.99900000000(INF), redondeado sería 9, no?

    • Renato tiene razón. Se parte de una premisa falsa: La ecaución 1=0.999 no es valida.
      El nro periodico .9999 tiende a 1. (ver teoria de limites)

      • 1 no es igual a 0.999, es correcto. Pero no se ha planteado eso, sino que 1 = a 0.99999...(Infinito)

    • Renato, hay un error en tu post. En realidad 0.1111... (infinitos "1"), NO TIENDE a 1/9, sino que ES IGUAL a 1/9. Lo que ocurre es que mucha gente no entiende que se trata de un número con INFINITOS decimales. Se confunde el límite con el proceso de alcanzarlo.

    • Lo que quieres decir es que el 0.999999999.... es una especie de limite (mas o menos como el limite de una función matemática), es decir que tiende a 1 pero no se hace uno.

  • pues ciertamente, yo ya sabia esto. he visto varias pruebas pero la segunda realmente me impresiono. otra de las pruebas es por medio de series infinitas ya que el numero 0.99999.... es igual a un suma infinita de todas las potencias e 10 menores a cero, multiplicadas por 9. al hacer los calculos correspondientes esta suma resulta ser uno. tambien es posible llegar a este resultado por meedio de las fracciones generatrices y esto no es exclusivo a esta cantidad, pues 1.99999999.... = 2 y asi sucesivamente.

  • "El truco está en entender que existe más de una forma de representar un número, y que lo que vemos como 0.999999999... no es más que un símbolo que representa en realidad el número 1."

    Esa es la parte más difícil. La concepción de infinito, en diferentes contextos, es una de ellas.

    • Definitivamente me regreso a la primaria y secundaria jajaja, mi cabeza se niega a aceptarlo XD...

  • puuuff.... Patrañas.

    La division de 1/9, contiene decimales infinitos. Por tanto es incorrecto afirmar, que 1/9=0,1111111. Para que sea igual se debería expresar con todos los decimales, siendo esto imposible.

    Conceptualmente un fracaso de demostración, y nada sorprendente en mentes retardaditas.

    • Y acaso la supuesta demostracion de la igualdad no es valida para una cantidad infinita de repeticiones en la parte decimal?

      Es decir, nadie aqui es tan estupido como para creer que es lo mismo 0.9999... que 1, solo se esta planteando el hecho de que aplicando ciertas formulas matematicas se ve como igual, precisamente por ser una cifra infinita que no podremos nunca encontrar. Igual que la cifra infinita de la igualdad de la que nunca podremos demostrarle algo diferente. Claro, podriamos decir qe simplemente lo que se plantea es que 10x es 10 veces 0.999... y el 1 final es simplemente la cantidad de veces de 0.999... que quedan.

      • Creo que solo esta troleando el tal MONO ese... xD

  • hola

    limite cuando x tiende a infinito de

    x/(x+1)=1, es decir 0.9999... = 1

    puede sorprender pero esto es trivial

    Saludos

    • evidentemente es 1. Pero has dicho límite. El límite no significa que el valor sea 1, el límite significa que está a una distancia del 1 infinitesimal. Es decir, que se puede CONSIDERAR 1, pero no es 1. En Análisis esto es muy importante porque en los saltos que se dan en muchas funciones ocurren estas cosas. La función puede llegar hasta justo antes del 1 pero al representarla por fuerza hay que ponerlo en el 1 porque en los números reales es imposible dibujar el número anterior a 1 porque los números reales son densos (buscar la definicion matemática de números densos)

      Con respecto a lo anterior, como muchos habeis dicho el problema está en la utilización de números infinitos. Las matemáticas son fáciles pero no tanto.

      Y lo mejor que podeis hacer es decir que 0.99999999... tiende a 1, pero no es 1.

      • clap clap clap, mejor no lo pudiste explicar!!

        Eliax me extraña, en las matematicas hay muchos convencionalismos que nos ayudan a enmarcar lo que humanamente podemos comprender es tan simple como decir q n + 0.99999999999... es igual a n+1, lo es para fines practicos pero en la realidad no.

        Limite cuando x tiende a infinito de
        x/(x+1)=1, es decir 0.9999... = 1

        Buen debate igual.

  • Es algo obvio, siempre y cuando 0,9999999999999.... sea infinitesimal. Los mismo que decir 1=1,0000000000000000......

  • mas interesante el segundo, ps el primero me lo sabia hace tiempo, y recien entendi su porque con limites y esas cosas, muy buenos ambos

  • Esto ya lo sabia desde hace mucho tiempo solo lo pondre un poco mas claro ..ok
    miren....
    1/9=0.111111....
    2/9=0.222222...
    3/9=0.3333333...
    4/9=0.44444444...
    5/9=0.55555555...
    6/9=0.66666666...
    7/9=0.77777777...
    8/9=0.88888888...
    9/9=0.999999999... !!!!!!!!!!!!! luego
    9/9=1
    1=0.999999999...

    existen otras curiosidades matematicas... que se pueden probar!
    como esta */0=infinito , tal que * no es cero

  • Si esto se enseña a los 14 años, es pasar un decimal periódico puro a fracción, no le veo el misterio...

  • Insisto... eso esta mal...
    es una ilusión causada por el hecho de que el sistema decimal no puede dividir correctamente 1/9

    Estudiare licenciatura en matemáticas con el único propósito de comprobar esto ¬¬

    • De hecho renato seria mejor ciencias computacionales ya que este topico incluye arquitectura de computadores.. por esto del overflow y la aproximacion, asi como la representacion de punto flotante en datos binarios. Saludos

      • jejeje mmm
        no pues no vi nada asi en la escuela..

        soy Ing. en sistemas computacionales

  • Eso no es una sorpresa.

    0.9999 En *realidad* no es 1. Se *redondea* hacia el 1 por ser el valor ascendente más proximo, pero no es 1.

    Si me dan 0.999 millones de dolaes, cuanto dinero me estan dando? 1 millon? no, verdad.

    • No Jorge, estás equivocado.

      Nadie de podrá dar 0.999999.... Millones de dólares porque te quedarás esperando hasta la eternidad hasta que te lo de.

      • Nunca pararía de darselo, ni aunque pudiera hacerlo en un instante.

  • Descubriste la polvora.

    • Y yo descubrí un Troll hijo de put* que se cree un genio. Eliax y yo no somos genios como tu pero pon algo constructivo en vez de boludeses.

      • jajajaja es verdad!

  • OMG uno si hacen eso en la calculadora o cualquier sistema digital va a dar 1 por overflow, 2 si estudian los primeros capitulos de algun calculo (sugioero Larson pero si vos queres usa el apostol) te daras cuenta que 0.99999.. no es uno, en representacion matematica se define un intervalo de 1 a 100 por ejemplo como (1 - 100] si el uno es abierto, es decir no es totalmente un uno como tal, tanto que si lo representas [1 - 100] este intervalo si incluye al uno, por lo que tu puedes dividir cualquier numero en un intervalo (0 - INF) pero nunca en el intervalo [0 -inf) ya que la division por cero es indeterminada,notese tambien que inf siempre es abierto. espero les haya servido.

  • creo que hay un detalle ahi y se trata simplemente de manipulacion de datos cuando multiplican por 10 tomas magicamente un 9 mas de la serie

    la resta seria 10x - x = 9.99 - .999

    dando 9x = 9.009

  • Resulta que soy matematico, así que si quereis salir de dudas... ES totalmente cierto.

    Y es tan evidente cierto como las dos demostraciones que da, ambas correctas, solo que al escribir 0.99999 se para en un cierto 9, y eso no es correcto escribirlo así, aunque la idea se entiende.

    Lo correcto es poner 0.9 con un "gorrito" encima, y se lee "cero punto 9 período", que signifia que se repiten los 9 hasta el infinito.

    Un par de anotaciones sobre cosas dichas en otros comnentarios:

    Primero, el que un número tenga infinitos decimales es, matemáticamente hablando, lo más habitual, por ejemplo PI o E o la raiz de dos tienen infinitos decimales, y existen (bueno, todo lo que un número puede existir).

    Lo de que en el sistema decimal no se puede dividir 1/9, pues no veo el porque, lo que no puedes es representar el resultado como lo intentais, porque no cabe en el papel, pero 1/9 es, exactamente, 1/9, acabo de representarlo usando el sistema decimal (esto ocurre en todos los sistemas de numeración).

    Finalmente, para los incrédulos, la explicación "sin trucos": Dos números de definene como iguales, independientemente de como los representemos, cuanod su diferencia es tan pequeña como queramos.

    Si intentais calcular la distancia entre 1 y 0.9 "período", vereis que es menor que 0.1, y menor que 0.01, etc... luego ambas son dos formas de representar un único número. Fin de las teorias conspiranoicas!

    • Exacto, estan tomando el 0.999...(INF) como un simple 0.999 y ya. Por eso dicen que les da 8.9991

    • No me parece que seas tan matemático.

      ¿Estudiaste teoria de limites en tu carrera de matemático?

      0.999 no es = 1
      sino que
      x(x+1) tiende a 0.9999 cuando x tiende a infinito.

      • 1 no es igual a 0.999, es correcto. Pero no se ha planteado eso, sino que 1 = 0.99999...(Infinito)
        sí tiende a 1. O me equivoco?

      • Claro que estudie teoria de límites, pero si te fijas, no se utiliza en todo esto para nada, aqui comparamos dos cosas y ninguna de ellas es un límite, por lo menos no nos las definen como tales.

        Si defines Ni como un cero, un punto, y luego seguido de i veces el nueve, obtienes una serie infinita del estilo: (0.9, 0.99, 0.999, etc.), que se ve claramente que tiende a 1, pero decir que el "ultimo" elemente de esa serie sería 0.9 "periodo" es falso, porque no existe tal "ultimo" elemento, así que hacer la demostración por límites es complicado y no sirve de nada constructivo.

        0.9 periodo es simplemente otra forma igual de acpetable de escribir 1, y la única demostración válida es ver que su diferencia es tan pequeña como queramos, y por esa razón es tan aceptable escribirlo como 2/2, como el seno de 0, como el límite de la serie comentada antes, o como mil otras formas de escribir 1.

        Y como todas son representaciones del mismo número, pues usad la navaja de Ocam y usar la forma simple, poned un 1!

        • Creo que la demostración deja bien claro que 0,9999... es igual a 1.

          Sin embargo, eso de que "la diferencia es tan pequeña como queramos" me deja pensando que "tan equeño como queramos" no es cero. Y la igualdad implica que la diferencia es cero, no pequeña sino exactamente cero, ¿o no?

          • No, el único número que es menor que cualquier cantidad que te puedas imaginar, por pequeña que sea, es el cero.

            0.00001 es pequeño, pero no es menor que, por ejemplo, 0.000000001, solo el cero EXACTO tiene esa propiedad, así que ver que algo es menor que cualquier cantidad equivale a demostrar que ese algo, es el cero exactamente.

            NOTA: hablamos en números positivos, en otro caso la propiedad diría "que el valor absoluto sea menor que cualquier cantidad positiva por pequeña que sea", pero mejor no liar, se entiende mejor sin entrar a tanto detalle.

        • Disculpa pero el seno de 0 es 0 y no 1

  • Y por cierto Eliax, a un matematico, aunque sea recien licenciado, esto no lo deja perplejo, es algo muy básico, y a nivel matematico se usan cosas del estilo de forma rutinaria: Si un matematico no detecta a un mismo numero "disfrazado", pues mala cosa!

    Es igual que decir que 1/3 = 0.33333 "período" es algo asombroso, quizas lo sea para algunos, pero ninguno de esos es matematico.

    • Perdón si ha parecido que quería decir que es tan simple que todos deberíais verlo evidente.

      No es evidente, el 99% de la gente diría que no son la misma cosa incluso despues de meditarlo un rato, solo quería comentar que de ese 99% de la población, dudo que ni uno solo fuese matemático.

      Eliax, si te interesan este tipo de "diabluras" matematicas, te ofrezco enviartelas a tu email para que, si las ves interesantes, y parece que levantan rios de comentarios, pues las publiques.

      Por ejemplo, el famoso Perelman que demostro "no se que" teorema y ahora no quiere cobrar el millon de dolares ¿Sabeis que fue eso que demostro? Es simple de explicar:

      Si un cowboy con un hilo de seda intenta atrapar una bola de acero flotando en el aire bien pulida y engrasada ¿Que ocurrirá? Que no logrará atraparla nunca. La esfera, en 3D, y todas las demas formas que surgen de deformar esa bola "sin romplerla" (figuras "momorfas a la esfera en gerga matematica) son inatrapables por nuestro cowboy, y se puede facilmente demostrar que la esfera es la unica forma en 3D inatrapable (a un donut es facil echarle el lazo, por ejemplo).

      Se especulaba (conjeturaba) que en cualquier espacio de más de 3 dimensiones (4D, 5D, etc) la esfera de esas dimensiones seguiria siendo la unica forma inatrapable por un cowboy de ese espacio hipotetico, pero no se sabia como demostrarlo.

      Perelman lo ha demostrado usando exactamente el simil del cowboy, ha aplicado fisica para simular como el lazo se resbalaria pero quedaria finalmente atrapado en alguna "arruga" solo cuando la figura no fuese "homomorfa" a la esfera (homomorfa es lo de que se pueda estirar una fomra para conseguir la otra sin "romperla" en el proceso).

      • waooo!!!! yo no soy matematico, estoy estudiando Ingenieria Informatica, pero si un aficionado a ellas. y tus explicaciones (tanto la de 0.99999... = 1 como la de Perelman ) fueron increibles. si tienes mas curiosidades como estas estaria agradecido en que las publicaras. saludos

  • ahora que lo pienso bien, no hay un teorema que dice que 1 + a = 1 donde a es un valor infinitesimal? o esto lo dice la fisica?

    sea como sea, 0.999... es un valor infinito y por lo tanto solo es teorico ya que en la practica no existen. Es posible (y extremadamente dificil) encontrarse en la practica con un peso, por ejemplo, que tenga 10,000 nueves (9) despues del punto de tal manera que parezca periodico. Sin embargo, en algun momento, acabara y podria ser interpretado como un numero finito por una maquina. Lamentablemente, para un humano son demasiados digitos y se consideraria aproximadamente infinito).

    • 0.999... NO es un valor infinito, solo fíjate que es seguro menor de 2, con lo que es un valor acotado, finito por lo tanto.

  • es cosa de representaciones, pero es imposible dejar establecida la igualdad de un numero o representación exacta con otro que no es exacto.

    1 es exacto
    0,9999999... no es exacto

    1/9 es exacto
    0,1111111... no es exacto

    Para simpleza de calculos y otras cosas más se llega a estas igualdades, en donde la diferencia es DESPRECIABLE, osea es "casi" lo mismo, pero no son iguales, he ahí el error.

    • en matemáticas, los racionales son exactos, y pues, 1/9 es exacto...

      • emmm eso dije ajjaja, o no?
        saludos :)

        • No, no dijiste eso. Dijiste que los números racionales no eran exactos.

    • Gustavo, estás en un error. No hay tal diferencia. En todo caso, ¿podrías decirme cuál es esa diferencia que planteas? La diferencia se da cuando uno imagina al número 0.999999... (INFINITOS "9") como si fuera un decimal que contiene una cantidad FINITA (y enorme) de "9"s. En realidad hay mucha diferencia en tener un número con "una enorme cantidad de 9s en su parte decimal" y tener un número con INFINITOS 9s en su parte decimal. Es una confusión muy común entre la gente.

      • INF ,se asume que es cero, pero porque la x avanza hasta el INF.
        o también 1/0 es INF, son representaciones pero no podemos usarlas como igualdades.
        Eso era... ¿?

  • "incluso a los más experimentados en matemáticas deja perplejos", un poco exagerado, no?

    • Cierto, ¿quién es un experimentado en matemáticas? ciertamente a un lic en matemáticas no le debería sorprender ni confundir este hecho (si es así, le sugiero que estudie otra carrera).

      Es muy cómico ver en los comentarios cómo la gente trata de refutar este hecho por métodos que ni ellos mismos entienden, y fallarán debido a que no es falso (además de su propia misma ignorancia).

    • Recomiendo lean el enlace http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... antes de llegar a conclusiones :)

  • mano yo sabia eso desde primer grado...

  • Este articulo me recordo tambien que;

    10/3=3.333333...
    3x3.33333=9.99

    Osea, al dividir 10 entre 3 y el resultado(3.333...) multiplicarlo por 3, no devuelve 10 exacto sino 9.99999...

    Aunque bueno algunas calculadoras puede que devuelvan 10 exacto si se multiplica x 3 en resultado de la memoria de la calculadora(3.333...).

    En cambio si escribes la operacion manualmente nunca devuelve 10 exacto sino 9.9999

  • La verdad es que:
    1/9~0.111111...

    no es una igualdad, es aproximadamente...

    • Puede quesi, pero resulta discutible que se diga que es aproximado a un numero que no se puede obtener con exactitud. Como asegurar que realmente no es "igual"?

    • En realidad Mario, es una IGUALDAD. La aproximación es un error que cometemos al interpretar a un número decimal que contiene INFINITOS "1"s como si fuera un número decimal con una ENORME (pero FINITA) cantidad de "1"s. Se confunde el resultado del límite con el proceso en sí.

  • Saludos... no acepto ese resultado. Desde el punto de vista de los números fraccionarios sabemos que el número fraccionario es exacto mientras que el número con decimales siempre será una aproximación, entonces el truco que veo ahí es el igual porque no debería ir ese símbolo sino el símbolo de "aproximadamente". Al igual desde el otro punto de vista, con variables, opino lo mismo, siempre serán aproximaciones puesto que el conjunto de los números reales es infinito. Lo que si no dudo es que en el primer vistazo apantalla :) pero ya analizando, no estoy de acuerdo. Es la primera vez que comento en la página así que... Elías, es una excelente página.

    • Najuu_m, el decir que el número fraccionario 1/9 es "exacto" porque lo puedes escribir con una cantidad finita de términos, es como decir que "e" o "pi" también son exactos porque ambos se escriben con un sólo caracter. Pero en realidad no estamos analizando la escritura, sino SU VALOR. 1/9 es una fracción períodica pura. Si la convertimos en notación decimal, nunca podremos terminar de escribirla, porque tiene ** INFINITOS ** decimales "1"s

      • Hola, no me refiero a que es exacto en cuando a la escritura, es exacto el valor que representa esa fracción, 1/9 es un noveno, punto, su valor es exacto, pero como bien dices al ser decimal nunca podríamos decir que es exacto porque el número tiende a infinito.

  • Ésta es una prueba inaceptable.

    Tu primer ejemplo, si se hubiera hecho correctamente se podría representar como:

    Sea a = 1/9

    9(1/9) = 9a
    9/9 = 9a
    1 = 9a
    1 = 9(1/9)
    1 = 1

    El primer error es suponer que 1/9 = 0.111... Si quieres basarte en esa suposición deberías demostrarla antes.

    Tu segundo ejemplo cojea del mismo pie:

    Sea a = 1/9

    x = a
    10x = 10a
    10x - x = 10a - x
    (10 - 1)x = 10a - a
    9x = 9a
    x = a
    a = a

    Vaya, ninguna prueba hizo algo sorprendente.

    La única realidad es que 1 es el límite de la serie infinita 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 la cual también se "representa" como 0.999... al igual que PI "representa" un número que no podemos conocer por completo de forma decimal.

    • Exacto, pero el valor de 0.999999... (INF) es el valor de su límite, esto es = 1. Cuando uno escribe 0.99999... (INF) NO está queriendo representar un número con una ENORME cantidad FINITA de decimales, sino que está queriendo representar el valor del número con INFINITOS decimales, que es precisamente el límite.

      0.9999... (INF) tiene como valor su límite que es EXACTAMENTE = 1.

  • es la primera ves que veo que pones algo que no tiene ningun tipo de fundamento eliax.. te sigo desde finales de 2005 y es la primera vez que me decepciona una de tus noticias. disculpame eliax pero estoy estudiando ingenieria informatica y esto es como las religiones para mi no las puedo ver.


    matematica es una ciencia exacta y no puede contemplar errores de ningun tipo. no podes ponerte a calcular en una igualdad y decir que 2 numero diferentes son lo mismo porque cometerias errores como este de pensar que 0,999...=1 . es lo mismo que yo te diga que el rojo es verde, no! 0,999... es 0,999... y 1 es 1.

    para que sea igual tendrias que hacer aparecer el error osea

    1 = 99... + ...1

    y esto es una desigualdad

    1 =/= 999... en programacion (1!=9) xD

    • Vaya, resulta que ademas de matematico soy informatico de profesion, así que entiendo tu decepcion al leer el articulo, pero te aseguro que se debe a que aplicas informatica donde no se puede.

      No se puede demostrar que PI tiene infinitos decimales usanod informatica, llegaras a calcular el decimal mil millones, pero antes o despues tednras que pararte y no habras demostrado nada.

      Demostrar y mostrar son cosas diferentes, y un ordenador es bueno generando ejemplos, pero no demostrando generalidades, de hecho es malismo, solo intenta demostrar que (1/3)*3=1 usando tu mejor PC y el lenguaje de programacion que quieras: todos te daran un resultado diferente de 1.

      Si tomas ese resultado como bueno, que no lo es, habras "demostrado" informaticamente que 1/3*3 es diferente de 1... ¿ves el problema?

      Es como decir que volar es físicamente posible para un humano sin ayudas externas porque en Second Life se ha conseguido... tampoco la informatica demuestra ninguna teoria fisica.

    • Santi, tal como dice Sergio, estás aplicando la ciencia de la Informática donde no aplica. Las computadoras NO PUEDEN MANEJAR INFINITOS DECIMALES. Tienen un tope "físico". Así que si haces un programa para que calcule el valor de 0.9999... (INF), realmente tendrás en tu variable un valor con una gran cantidad de "9"s, pero una cantidad FINITA al fin y al cabo. Y si en otra variable calculas la diferencia de 1 y dicha variable, OBVIAMENTE te devolverá un valor 0. ¡Pero es que estás APROXIMANDO un valor con INFINITOS decimales a una representación en memoria que tiene FINITOS decimales!!!!

      Por otro lado, si no te cabe en tu mente el tener 2 números que se escriben diferente pero que significan lo mismo, entonces qué me dices al comparar 1/2 con 0.5 ???? O 1/2 y 2/4? O 1/RAIZ(2) y RAIZ(2)/2 ????

    • pues fijate que yo tambien estoy estudiando Ingenieria Informatica, y estoy completamente seguro de esta demostracion.

      ¿como puedes creer que Eliax y la gran mayoria de los q comentamos aqui estamos equivocados? es cierto que todos somos humanos y nos equivocamos pero si tu dices que es negro y el resto del mundo dice que es blanco. ¿que color sera al fin?

      todavia no comprendes el concepto del infinito, ni mucho menos que 0.999999... = 1

      no son dos numeros diferentes, SON EL MISMO NUMERO REPRESENTADOS DE DOS MANERAS y como dice Sergio no veo donde aplicar la informatica en esta demostracion

    • no es verdad tienen razon ya hice las respectivas averiguaciones con mis profesores y es cierto, pido disculpas. pero igual hay algo que no me cierra del tema. aunque entiendo todo perfectamente.

  • Vamos a hacerlo simple: primero que nada, 0.3333.. no tiende a 1/3, sinó que es exactamente 1/3. No son cifras limitadas de 3. Son infinitas cifras 3. Osea que no se puede tender ya que si parara en algun momento si tendería, pero no para nunca, osea que es una forma exacta de expresión.
    Por ejemplo, si dividimos 10 entre 3, nos queda exactamente 3.33333.... infinitamente Y si esto lo multiplicaramos por 3 nos quedaría 9.999999... o simplemten 10, ya que desde esto llegamos al 3.33 diviendo.
    La tendencia no existe, solo la exactitud, hacer 1/3 no significa que vamos a agregar tantos .333333333.. en un tiempo determinado y vamos a seguir agregandolos, sinó que los agregamos instantaneamente. Solo existe la tendencia en el tiempo, no en la matematica.

    • Contestando lo que dijo Santi0037: Te aclaro que, como dijo eliax, hay varias formas de expresar un solo número. En fracción, en raiz, en decimales, en binario, en potenciacion, en hexadecimal, en octal, en romano, en egipcio, etc. 0.999.. no es distinto de 1. 0.999.. como dije antes, no tiende a 1, es 1. No existe la tendencia.

      Ahora entiendo porque a muchas personas no le entran cosas en la cabeza, algunos no pueden creer cosas que no imginan, no pueden imaginar el infinito, yo tampoco, pero si lo puedo comprender. Decir que infinito es un número "largo" es tan tonto como decir que las hormigas son gigantes. Ya que el infinito no es largo ni corto, es otra cosa que no imaginamos, y si no la imaginamos no la podemos expresar con las palabras.

      • Te propongo un acertijo sobre el infinito:

        Un hotel, imaginario claro, tiene infinitas habitaciones, una habitacion con el numero 1, otra con el 2, otra con el 3, y asi para todos los numeros naturales.

        Hoy han llamado a infinitos albañiles gratuitos -para que no nos arruinemos- para que eliminen las habitaciones, todas menos las multiplos de 10, es decir, fuera la 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y deja solo la 10, la 20, etc.

        Ahora pregunta el director: A ver, quien cree que con esta reforma hemos perdido, y quien cree que hemos salido ganando.

        ¿Que responderías tu?

        • esta bueno sergio, te tengo la respuesta.

          estamos claros que, al quitar las habitaciones y solo dejar las que tienen un numero multiplo de 10, estamos haciendo el ridiculo. tenemos INF habitaciones y nos quedamos con INF habitaciones porque hay un numero INF de multiplos de diez.

          por lo tanto creo q el hotel salio perdiendo porque contrato a los albañiles para nada.

          • Bueno, tienes razón en que sigue teniendo las mismas habitaciones que antes, solo imagina que quitas el último 0 de cada habitación arrancandolo, volverías a tener las habitaciones 1,2,3,etc como al principio.

            Pero no sales perdiendo, ya caí yo en lo que comentas de que contrataste albañiles para nada, por eso dije que eran GRATIS, así que la respuesta es: Ni ganas ni pierdes, te quedas igual.

  • No es por ser un troll como los comentarios que he leído, pero esto lo sabe cualquier persona con conocimientos de matemática.
    Eliax, cuando escribes "Como pueden observar, literalmente el número aparentemente infinito 0.9999999... es en realidad el número 1", estas cometiendo un error debido a que el numero 0.9999999... es efectivamente infinito, de otra forma no se cumpliría la igualdad.
    Saludos.

    • De todas formas, dijo que aparenta ser infinito, y al mismo tiempo lo es, osea que no se equivocó. No dijo esto: "aparentemente infinito cuando no lo es".

      • Eliax puede defenderse solo, no necesita que un niño que no sabe argumentar lo haga por el. Tu respuesta no tiene fundamento.
        Cite lo que Eliax puso y si se equivoco.

    • Siento decirte que te equivocas al explicar que Eliax se equivocaba... 0.99999... no se si es "aparentemente infinito", por los comentarios diría que si que lo aparenta para muchos, pero lo que si se es que NO es infinito como replicas, basta ver que es menor que 2!

      Que lo representes usando infinitas cifras no lo convierte en infinito, piensa solo que 1 se puede representar como 1.000000... y eso no lo ha convertido en infinito, eso si, escribirlo en papel te costara infinito tiempo y papel, pero eso no tiene relevancia matematica.

      • Me parece que no leíste la nota que Eliax escribió y muchísimo menos el articulo de la wikipedia.
        El articulo mismo hace referencia a que es un numero infinito.

        • 1/9 = 0,999... no es infinito.
          Lo que tiene de infinito es el hecho de ser una secuencia infinitamente grande.

        • FFF, el número 0.99999.... contiene INFINITOS decimales, pero su valor NO ES INFINITO. Es más, a simple vista uno puede darse cuenta que su valor nunca superará a 1 (y de hecho, ES EXACTAMENTE IGUAL A 1).

          P/f re-lee bien el artículo de la Wikipedia, que está todo bien detallado.

          • cuando digo es efectivamente infinito, me refiero a los decimales.

        • Creo saber lo que es un numero infinito sin acudir a la wikipedia, y 1 no es un numero infinito aunque lo escribas en esta forma de 0.99999... INF, lo diga quien lo diga.

          Si tienes de verdad infinitas manzanas podrías estar comiendo una a una manzanas por siempre, eso no ocurre si tienes 0.99999... INF manzanas, si tienes estas manzanas, tras comerte la primera, se acabaron... menudo infinito que se acaba a la primera oportunidad!

          Que se pueda representar caprichosamente como una rista infinita de cifras es una "curiosidad", todo numero puede ser representado así si te hace ilusión, pero infinito es lo que es: algo mayor que cualquier número que te imagines, sea un millón, un billón, o un gogol.

          Y por si se te pasa por la cabeza: infinito NO es un número, ya que si N es numero, DEBE cumplirse -es la definición de números naturales- que N+1 sea también un número y mayor que N, pero infinito+1 no es mayor que infinito, es igual, luego no puede es un numero, es "otra cosa".

      • (a el numero mas grande que Sergio pueda imaginar)

        Eliax te banco, pero en esta...

  • El infinto es un concepto resbaladizo, sin herramientas matematicas, intentar usarlo para demostrar o refutar algo es como la nitroglicerina en la química, te salta a la cara en cualquier momento.

    Existe toda una teoria de los infinitos, porque son muchos, de hecho hay infinitos infinitos, y no es cierto que infinito es igual a inifinito.

    Una cuestion para pensar: Si tenemos infinitos troncos numerados del 1 en adelante, cada uno de su longitud, digamos de entre 1 y 5 metros ¿Existen mas posibles longitudes de troncos en ese rango, o todas están representadas por uno de estos troncos?

    Se admiten apuestas...

    • No entiendo para que contestas a mi comentario si lo que decis no tiene nada que ver con el.

      • No entiendo porque contestas sin pensar o leer antes, él nisiquiera estaba contestando a tu pobre comentario.

        • jaja, me parece que alguien esta enojado por la cosas que el mismo pone.
          Sergio me contesto anteriormente con argumentos mal fundamentados y equivocaciones varias.
          Vos tendrias que postularte para ser el defensor del pueblo.

    • INF.

      entonces si no me equivoco entre 1 y 5 hay muchas mas cantidades y por eso hay mas longitudes que troncos.

      • Cierto, la cantidad de posibles longitudes es infinita, pero mayor que el número de troncos de que dispones. Son dos infinitos distintos!

        El quid está en que los troncos los has podido numerar del 1 en adelante, pero las posibles longitudes no se pueden numerar, cualquier lista infinita de longitudes se dejara alguna fuera (de hecho, la inmensa mayoria). Esto es algo curioso, pero muy fácil de demostrar:

        Imagina que ordenas todas las posibles longitudes en una lista infinita, para simplificar, imaginamos que solo son longitudes menores que 1, asi que tendríamos algo de este estilo:

        0.3194792374928742349823948723...
        0.2837348508345987459734598374...
        etc.

        OK, pues ahora yo puedo decirte una longitud que NO esta en tu lista, lo que demuestra que esa lista no puede existir (nunca sería exhaustiva) por lo que hay mas longitudes que troncos.

        Esa longitud es muy simple de visualizar: Empiezas poniendo 0. y ahora, cuando vas a decidir el primer decimal, miras la primera linea y eliges un digito distinto del que tiene esa longitud.

        En este ejemplo, evitaríamos poner como primer decimal el 3, por ejemplo 0.5, y con eso, nos aseguramos que la longitud final no puede ser igual a la primera de la lista.

        Luego usamos el segundo decimal de igual forma, evitamos que coincida con el segundo decimal del segundo de la lista, es decir, el 8. Por ejemplo, el 0.5 de antes le añadimos un 1 (cualquier cosa menos un 8) y ya tenemos 0.51, que evidentemente no puede ser igual, una vez pongamos todos sus decimales, ni al primero ni al segundo de la lista.

        Esa longitud se construiría explícitamente para no estar en la lista, y evidentemente no podría estar en la lista, fin de la demostración.

        El único punto que os puede chocar aquí es que construimos un numero decidiendo uno a uno sus decimales, y podría dar la impresión de que "nunca terminarímos"... es una demostración por "inducción" como otra cualquiera.

  • este tema parece que no va a terminar mas (ja)

  • PARA LOS MATEMATICOS:
    cuanto es 1 menos 0.9999999... = ?
    vamos 1 - 0.999999999... =
    o.9999999... - 1 =

    • Obviamente cero.

      • 1
        seria lo mismo decir 1-0.9999...= 0 ?
        0 = 0.000...(inf->)1 ?
        esto me confunde? es como si las matematicas nos estuvieran diciendo que la nada no es la nada, y que en realidad siempre debe haber algo.
        Que miedo.

    • CERO.

      Es facil de demostrar:

      1-0.99999... (INF) es claramente inferior que 1-0.9 ya que si restas a 1 un numero menor (y 0.9 es menor que 0.999999...) obtienes un resultado mayor. Así que el resultado que buscas es menor que 1-0.9 = 0.1

      Repites ese razonamiento para 1-0.99, y sigue siendo cierto por las mismas razones, con lo que sabes que el numero que buscas también es menor que 0.01, y si das otro pasito, ves que es menor que 0.001, y que 0.0001, y así hasta donde quieras llegar.

      Dicho en otras palabras, el numero que buscas es menor que cualquier cantidad que te imagines, por pequeña que esta sea, ya que siempre habrá un 0.000000001 con suficientes ceros que será menor que la cantidad que te imaginaste, y el único resultado posible menor que cualquier cosa que imagines, es cero, no hay otro numero con esa propiedad.

  • Puedo dar fe de "incluso a los más experimentados en Matemática deja perplejos". El hecho ampliamente demostrado que 0.999... (INF) es EXACTAMENTE = 1 es algo que siempre lo he tenido en claro yo, pero al mismo tiempo encuentro MUCHA gente con dominio de las matemáticas (al menos mucho mayor que el promedio) que no entienden la razón de esta igualdad: para ellos se trata de 2 números diferentes.

    La raíz del problema es que muchas personas NO pueden abstraerse lo necesario para comprender o al menos imaginar de alguna manera el concepto de "infinito". El error es pensar que el "infinito" es un número muy grande pero FINITO. GRAVE ERROR. Esta generalización lleva a interpretar a números del tipo 0.999... (INF) que tienen una secuencia de decimales que NUNCA termina, como si fueran números con una cantidad FINITA y ENORME de decimales. O sea que realizan la aprox de "0.9999... (INF)" = "0.9999999" (cantidad grande pero finita de "9"s) que para muchos casos prácticos resulta suficiente. Por ej, si realizas cálculos donde basta la precisión de algunos decimales, o programas informáticos, probablemente ni te des cuenta de la diferencia. Pero matemáticamente hablando ESA aproximación (de tomar como equivalente a un 0.9999 con un FINITO número de decimales) lleva a un muy pequeño error que la gente tiende a extender como concepto al número "original" (0.99999 INF). Cuando alguien dice que entre 1 y 0.999999... (INF) existe una diferencia que "tiende a cero" (¿?) en realidad en su mente están imaginando a un número 0.99999 con un número FINITO de decimales. Se pierde el concepto del número inicial: que contiene INFINITOS DECIMALES!!!!

    Según mi experiencia puedo dar fe que para hacer que alguien incrédulo se de cuenta que 0.999... (INF) = 1, resulta tan difícil como hacerle que cambie su religión. Por más que yo derribo matemáticamente todos sus argumentos que intentan demostrar lo contrario, no logro convencerlo de la igualdad... Así de radicales son...

    • bueno, has puesto de una manera tan educada y agradable tus argumentos que de por si me han hecho entender.
      Lo último es como hablar del limite, si lo ves desde ese punto de vista se da el caso en que sea 1.
      Pero como se muestra en el post inicial, 0.99999... no se entiende "visualmente" como INF.

    • Es lo que ya e dicho antes, la gente no entiende el concepto de infinito e imaginan un número muy muy grande que tiene un limite, aunque ellos piensen que no tiene limite le estan dando uno al pensar que hay diferencia entre 1 y 0.999... (INF). El número sige y sige, no para nunca, y no se hace en un tiempo, sinó que el calculo es al instante y el número ya está desarrollado nunca va a haber algo que tienda a 1 sinó que es exactamente 1 pero una forma extraña de representar ya que no se puede comprender con el sentido común.

  • >>>>>>> -------->>>>>> --------->>>>>
    1,2,3,4,5,6,7,................................inf

    0.3333333333333333333333333333333333......+
    0.3333333333333333333333333333333333......+
    0.3333333333333333333333333333333333......
    -------------------------------------------
    0.9999999999999999999999999999999999......

    (el acarreo necesario para convertir todos los 9 en 0 y al 0 en 1 nunca es alcanzado)

    otra forma en que se puede entender esto es la siguiente:

    si nos paramos en cualquier punto de la calle y caminamos hacia el otro lado de la misma dando pasos cada vez mas pequenos por mas que nos movamos nunca llegaremos al otro extremo (a esto se le llama limite) y nuestro viaje se pareceria al conjunto de cantor (un conjunto fractal infinito)

    por lo que 1/3 (de forma racional) es la abstraccion que creamos para eliminar la cadena infinita de 9

    • ey! me cortaron la explicacion!!! asi no se entiende, el punto es que se debe sumar de izquierda a derecha y no de derecha a izquierda (cosa que es facil de entender puesto que estos numeros tienen comienzo pero no tienen final y seria ilogico comenzar a sumar desde alli)

  • Esa es la razón por la cuál siempre utilizo fracciones para hacer las operaciones aritméticas y de cualquier otro tipo, el resultado resulta la fracción y no un numero decimal (por ejemplo en las integrales y derivadas).

  • !!! E L T R U C O E S T A E N L O S D E C I M A L E S !!!

    Hay tantos comentarios que no se si ya halguien dijo esto: al multiplicar un numero por 10 va a tener un decimal menos, si por ejemplo si x=0.9999 con 4 decimales lo multiplico por 10 da
    9.999 con 3 decimales si le resto x
    0.9999 que se definió con 4 decimales da
    8.9991 y no 9

    • Claro Ivan, perfectamente de acuerdo contigo. Lo que dices es una verdad matemática... pero válida SOLO para números con una cantidad FINITA de decimales.

      El problema es que 0.9999... tiene INFINITOS decimales, y que al multiplicar el número x 10 no es que vaya a tener "INFINITO - 1" de decimales, sino que SIGUE teniendo INFINITOS decimales (INFINITO - 1 = INFINITO, por así decirlo).

      Nuevamente, el problema está en no entender el concepto de "infinito". Se tiende a pensar de manera simplificada que el decir "una cantidad infinita de decimales" equivale a decir "una ENORME cantidad FINITA de decimales", lo cual **no es lo mismo**...

  • 0,99999999... y 1:

    No son aproximados, ni tampoco tienden el uno al otro, ni tampoco son parecidos. Son IGUALES, EXACTAMENTE IGUALES, es decir, el mismo número.

    Antes alguien ha preguntado cuánto da su resta. Da cero. Un cero perfecto:
    1 - 0.99999999... = 0

    Me horroriza la cantidad de necios que hay en el internet capaces de rebatir esto sin tener ninguna idea de lo que están hablando. Las matemáticas no son una competición de popularidad: que insistáis mucho no convierte vuestras teorías en reales.

    ¿Qué es eso de "a mí no me convence"? Las matemáticas son una ciencia EXACTA. Eliax, Sergio y Paolo ya os lo han explicado e incluso demostrado correctamente, si sabéis distinguir la ciencia del marujeo tendríais que aceptar que 0,99999... = 1 y pasar página, que bastante vergüenza ajena estáis dando con vuestra fe e insistencia emocional en un asunto matemático.

    El que tenga que utilizar para esto una calculadora o un computador tiene un grave problema. Ningún ordenador ni computadora puede representar el CERO COMA NUEVE PERIODO (0,9999...), ya que tienen un buffer finito y siempre tienen que truncar su representación, con lo que en realidad representan es UN CERO Y MUCHOS NUEVES. Felicidades, habéis demostrado que un cero y muchos nueves es diferente de uno. Pero de eso no estamos hablando. Infinitos nueves detrás de un cero hacen que 0,999... sea IGUAL a 1. Igualdad perfecta.

    • Estas muy equivocado. Para empezar las matemáticas no son una ciencia exacta como ustedes se creen. Antiguamente se estudiaba Ciencias Exactas pero existen teoremas y conjeturas que hicieron cambiar el nombre a los estudios y los llamaron Matemáticas.
      Si quieres me lio a escribir toda la teoría necesaria para que lo entiendas (lo equivalente a unos 4 años de carrera). Las matemáticas que ustedes han estudiado si se pueden denominar exactas porque son una pequeña parte de la misma. Los ingenieros deberían de saber de que estoy hablando, a no ser de que ellos no pasen del Álgebra y la Matemática Discreta.

      Con respecto al problema aquí planteado. Tenemos un problema a la hora de usar los términos porque los mezclamos. La palabra "igual" no se puede aplicar así como así.

      En teoría de límites, 1 - lím(0.999999...)= 0. Pero si entendemos teoría de límites sabremos que lo que eso significa es que la diferencia entre esos dos números es una cantidad infinitesimal. Una cantidad infinitesimal o un infinitésimo es una cantidad despreciable. Hay que saber siempre de que estamos hablando y en que campo estamos hablando. Por eso si yo digo que 1+1=0 tengo que decir en que campo estoy trabajando antes de discutirlo porque en Z sobre Z2 si es cierto. En los Reales en cambio, no. Por eso, si haceis cálculos utilizando el SÍMBOLO infinito ya no estais en los números Reales, estais en el campo de los números Reales ampliado, y en análisis la cosa cambia. Digo lo mismo que antes, 0.9999... no es exactamente 1. Por último, en la carrera de matemáticas NUNCA se utilizan los números decimalesn porque estos en si no forman ningún cuerpo y producen errores como el que hemos visto arriba. Os aconsejo que os olvideis de esto porque es perder el tiempo intentar demostrarlo. Lo que si podeis hacer es utilizar la Reducción al Absurdo para demostrar que es falso. Eso si es facil de hacer. Ya sabeis que teneis que partir de que sea cierto y llegar a una contradicción.

      • otra vez con lo musmo. yo estudio ingenieria, ya he aprovado todos los calculos posibles que van desde las conicas hasta las ecuaciones diferenciales de orden superior, y si me permites decirlo, con notas eximidas.

        y con la propiedad de saber que me llamo Diego Dukon te digo que 0.999999... = 1, EXACTAMENTE IGUAL!!!!

        como dije antes y cito:

        "si tu dices que es blanco y el resto del mundo dice que es negro, ¿que color sera al fin?"

      • Por una parte capás que tenés razón, pero por lo menos, en la lógica y matemática que usamos nosotros, no hay diferencia entre 1 y 0.999... ya que esa cantidad despreciable de la que hablas nunca se llega a encontrar osea que no hay diferencia. Y si hablamos de otra manera, esa cantidad despreciable es infinitamente igual a la nada, osea que es cero.

      • Los reales son espacios métricos, por tanto hausdorff así que el límite es único. Los reales ampliados no son hausdorff... ni siquiera son Frechet (con la topología heredada de los reales). .999... vendría siendo la mónada del 1 (el cual es un conjunto de números).

      • Tranquilo, esto no es una guerra licenciados-no licenciados, asi que dejemonos de pavonearnos con nuestras titulaciones y demos argumentos.

        Lo que dices está muy bien, por el lenguaje parece que si que eres licenciado en matematicas, pero entonces sabras de sobra que, para tengas credibilidad, has de refutar el razonamiento de quien dice lo contrario que tu, o bien demostrar tu version (me gustaria ver tu "reduccion al absurdo", por cierto), y solo veo que "insistes" en que no son iguales, ok, veamos entonces que opciones nos quedan...

        Segun tu, esos dos numeros no son iguales, entonces, asumo que defiendes que son diferentes.

        Si son diferentes, su diferencia ha de ser un número CONCRETO y no nulo ¿cierto? y no vale decir que la diferencia es "un infinitesimal", pues como bien sabras, "infinitesimal" es un adjetivo, no un número, ni siquiera en los reales extendidos.

        Dime pues ¿Cuanto vale esa diferencia? Y te repito que lo que afirmas solo se sostiene si me puedes dar una respuesta en forma de numero no nulo y, claro está, lo razonas.

    • muy maleado pues pizado

  • jajajajajaja, buen chiste este, jajajaja.

  • Tras ver los comentarios, agrego otro detalle que me parece más bien semántico.
    Por lo que entiendo ustedes asumen sin dudar que el signo "=" representa IGUALDAD, cuando en realidad, en muchas ocasiones representa EQUIVALENCIA. Ambos conceptos no son lo mismo.
    Visto "=" como equivalencia esta demostración no es en absoluto sorprendente, en el ámbito de la ingeniería y de la vida cotidiana es algo de todos los días. Por ejemplo, si se calculan estructuras con medios matemáticos de poca precisión, tranquilamente se puede establecer que 0,999 = 1 (¡o directamente que 0,9 = 1 !) sin considerar al primer término como secuencia infinita. El truco está en tener claro QUÉ FUNDAMENTA QUE ESA EQUIVALENCIA SEA VALIDA, como ser los coeficientes de seguridad adoptados, resitencia del material empleado y muchos otros factores.
    También caemos en la equivalencia cuando estamos acotados en esquemas limitados, por ejemplo normalmente consideramos que $1 = $0,99 dependiendo del cambio disponible, podríamos ser más estrictos de tener más decimales.
    Fijos en el ámbito estrictamente matemático y "puro" comprendo que temas como este ameriten discusiones bizantinas. Dejan de serlo cuando a la Matemática se la aplica en contextos menos abstractos.
    Saludos

    • En matemáticas el = significa igual, exactamente igual, nada de equivalencias ni aproximaciones.

      Para lo que tu dices se usa un símbolo similar, pero con las dos lineas "haciendo olas", o bien solo la linea de arriba, según te guste más.

      Si usas = refiriéndote a "equivalente", pues mal vamos, es algo que los ingenieros hacéis mucho, pero solo porque os viene a dar igual si el decimal 1 millón es o no idéntico... pero en matemáticas, o son iguales o son diferentes, no hay tintas grises.

      Lo que aquí se discute no es si son números parecido, equivalentes o lo que sea, se habla de ser IGUALES, sin matices.

      • Repito nuevamente, comprendo la discusión dentro del ámbito matemático.
        FUERA DE EL, donde la Matemática con todo lo que implica es UNA HERRAMIENTA DE APLICACIÓN, tu respuesta se vuelve relativa, los enfoques y análisis pueden ser otros.
        Esta mirada no invalida la tuya, es una mirada complementaria.

    • De todas formas, en este caso hablamos del "=" como igualdad exacta, así que eso es fuera de tema.

  • Les cambio .9999 por un dolar...
    Son aproximaciones a ciertos limites (el infinito) que el simple algebra no puede explicar, pero vayamos al calculo y la cosa cambia. Simplemente por mas que se quiera el .99999 nunca sera igual al 1, es un wannabe como muchos aqui....
    Saludos!

  • C (1>0.9^)

    Si A y C son distintos es porque existe al menos un B tal que A>B>C

    Pero si no existe un número B entre ellos es por que A=C (0.9^=1)

    Por ejemplo. Entre 0 y 1 hay infinitos números reales. El 0.5, el pi/4, etc.

    ¿Alguien es capaz de decirme tan solo un número que esté entre 0.9^ y 1?

    Como no hay ningún número real entre ellos, significa que son iguales.

    • E X E L E N T E ! buen argumento. simple y obvio, dejas demostrado de manera comprencible que 1=0.99999... ya que matematicamente ha estado demostrado, desde hace tiempo!

  • El problema y razon de tantos comentarios es porque la nota no esta bien redactada.

    • como dice en Condorito.

      PLOP!!!!
      exijo una explicacion.

    • No es que esté mal redactada, sino que no tienes las neuronas para entenderlo. Mas simple de la explicación de eliax, imposible.

  • Bueno, el problema de entender la equivalencia entre 0.999.... y 1 es muy antiguo. Yo conozco este "conflicto" desde hace años. Y siempre que éste aparece en un blog genera este tipo de discusiones. Algunos se dan cuenta y lo aceptan, otros con argumentos matemáticamente errados se aferran a la idea que son números diferentes. Es más, yo tengo amigos (con cierto conocimiento de las matemáticas) que aún siguen incrédulos a pesar de mis esfuerzos ;)

    No quiero ni pensar que ocurriría si algún día José publica en este blog que 0! = 1 o que 0 elevado a la 0 = 1. O quizás lo que ocurra si plantea las paradojas del Hotel de Hilbert o nos hable sobre los "diferentes" tipos de números infinitos que descubrió Cantor... ¡La que se armaría!

  • Con este supuesto método que utilizan aquí, por qué no mejor comprueban que:

    (e^(pi*i))-1=0

  • yo espero a que saquen la pelicula para entenderlo...

    • JAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJAJA

  • inf) 1 / (10^x)

    y luego yo les preguntara ¿y cuánto vale esa expresión?, y en lugar de decirme el valor EN EL INFINITO (cuando x->inf) respondieran tomando un valor de x MUY grande PERO FINITO.

    Repito: NO ES LO MISMO un número muy grande (pero FINITO) de decimales que un número INFINITO de decimales!!!! TAMPOCO es lo mismo un número al que se le van adicionando más y más decimales que un número con INFINITOS decimales!!!!

    0.9999..... no es un número en "constante crecimiento". Es un número EXACTO. Tampoco es un número que sea una función del tiempo (a más tiempo, más decimales), sino que desde un inicio ya tiene INFINITOS decimales. Y su valor es EXACTAMENTE IGUAL A 1.

  • Algo no tan conocido pero que se desprende por lógica es que esto se puede extender a otras bases:
    0.9999....=1 en decimal (o. lo que es lo mismo, la sumatoria de 9*(1/(10^k)) con [k de 1 a infinito] es igual a 1)

    pero, a su vez, en hexadecimal 0.FFFFFF=1, en binario 0,1111111111=1 y así.

    La expresión general sería

    SUM[(b-1)*(1/(b^k))]=1

    Donde b es cualquier natural mayor o igual a dos (esta generalización la estoy haciendo yo y no la probe en otros casos) y K es el término variable de la sumatoria (SUM) que va desde k=1 a k=infinito)

    • En otras palabras, (9/10)+(9/100)+(9/1000)...=1
      pero tambien (1/2)+(1/4)+((1/8)....=1 y (2/3)+(2/9)+(2/27) y así

  • Me niego a aceptar esto, aunque el artículo de wikipedia es claro, y dice que ha sido aceptado por los matemáticos. Aquí hay otro artículo que dice lo contrario!!!!.
    http://en.wikipedia.org/wiki/User:ConMan/Proof_that_0.999..._does_not_equal_1.

    Que alguién me explique!!!

    • El autor de see artículo se hace llamar ConMan que significa "estafador" en español. Solo por eso creo que le resta credibilidad al artículo :P

      • Estoy un poco confundido:

        US$0.99
        X
        1,000,000
        __________
        = US$990,000

        US$1,000,000
        -
        US$990,000
        __________
        = US$10,000

        US$10,000 es mucho dinero!! 0.99 no es igual a 1. Claro que si alguien me pregunta que le de US$0.99 centavos, mejor le doy US$1 :)

        Interesante articulo.

      • No se dejen engañar por la vaga herramienta que nos han dado (que es la matemática). La matemática es solo una herramienta. No sabemos si es perfecta por más que muchos matefánaticos lo digan.
        Si somos inteligentes nos damos cuenta de la razón del artículo.

        Hay que pensar, muchos insultan a los que creen en este artículo, y dicen ser licenciados u ingenieros, es verdad, puede ser. Pero sebé que después de todo esto no comprendieron lo que es la realidad, sinó que se quedaron con la vaga idea que nos dá la matemática con respecto a nuestro universo.

        • Voy con lo de que las matematicas son una herramienta, como dices. Tambien entiendo lo planteado por Eliax. Solo que me imagino que en diferentes circunstancias se harian diferentes calculaciones. Mi ejemplo con los US$0.99 no hace justicia por la cantidad, pero uno a veces se pregunta porque los precios no se redondean, como por ejemplo el precio de la gasolina los cuales a veces los calculan con fracciones de hasta un centavo.

          Saludos.

    • El que escribió esa "contra prueba" simplemente no sabe lo que dice: Alega que 0.99999... tiene "un nueve más" que 9.99999... esa frase es una gran oportunidad perdida de haberse quedado calladito.

      Es como decirle a esa persona que si, que vale, que su argumenta es válido, pero en ese caso, que "borre el último 9 de 0.9999..." o bien "añada otro 9 al final de 9.9999..." y que la prueba volverá a ser cierta".

      No existe tal "ultimo nueve", igual que infinito más uno es exactamente igual que infinito sin sumarle ese uno, simplemente está "abusando del lenguaje", ya que en el lenguaje cotidiano es posible decir cosas que, matemáticamente, no tengan ningún sentido, y eso no quiere decir que las matemáticas sean "imprecisas", lo es el lenguaje que utiliza este señor.

  • MATEMÁTICAS
    Más controversial que la opinión del Vaticano, pero no tanto como el matrimonio gay.

  • cualquiera que haya estudiado limites, y el infinito sabe que 1 es infinitesimalmente menor que o.8 periodico (por cierto dificil de poner en ACII) o sea que en la practica es lo mismo, 0.9 periodico tiende a 1.

    Y en este caso se debe a la mala conversion de las fracciones al sistema decimal.

    Pero te pongo otra mas sencilla para demostara que todas las cantidades son iguales.

    a es distinto de b
    a elevado a cero es uno, b elevado a cero es uno ergo a igual a b ¿no?

    Ahora dame tu 1 millon de dolares que yo te dare uno a cambio ¿vale?,

    El cero, el infinito, y por extension los periodicos son convenciones con las que no se deben jugar pretendidamente en serio, pues cuando no representan la realidad dejan de ser matematicas. Siquiera conjeturas.

    • lo que decís me da vergüeza ajena.

      "a es distinto de b
      a elevado a cero es uno, b elevado a cero es uno ergo a igual a b ¿no?"

      Dedicate a hablar de lo que sabes.

  • 1/9 no es aproximadamente 0.9 periodico
    0.9 perdiodico es aproximadamente 1

    punto

    • No es "aproximadamente igual". Son exactamente iguales

  • x= 0.99999
    n=8 -> x= 0.99999999
    si n es un numero bastante grade pues tendremos
    x=0.999999.....

    Bueno ahora por 10 verdad?
    10*x= 10 * 0.999999...

    nuestro x tenia n cifras decimales si lo multiplicamos por 10 pues tendra n-1 cifras decimales.

    Ahora si le restamos a este numero x
    10*x-x estamos restanto un numero de n cifras decimales con uno de n-1 cifras decimales
    es como si restaras
    9.9999-0.999=9.0009

    pues bueno en nuestro caso sucede lo mismo solo que con cifras mas grandes pero al final cienpre vamos a obtener 9 enteros un "n-1" cifras ceros y al final un 9
    9.0000...0009
    obviamente ese numero no es igual a 9
    y al dividirlo entre nueve pues jamas dara uno.
    a menos claro que dividas con una calculadora que solo admite un numero finito de cifras decimales.
    Bueno el caso es que esto es una simple "ilusion" el truco solo esta en q al final al multiplicar por 10 tu "x" pierde una cifra decimal muy pequeña, pero que es la q genera la desigualdad entre los numeros finales.

    Los comentarios deja mucho que desear hay gente, que no tiene ni idea de lo que habla y mas aun
    cree en lo que se dice aqui, pues realmente el que inicio este articulo es un "estafador" que no tiene ni idea de lo que son las matematicas, yo lo mandaria de regreso al colegio, junto con el que decia que "las matematicas son una simple herramienta".

    Caso cerrado, queda demostrado que este articulo no tiene coherencia y que de la misma manera los otros comentarios que se generaron a partir de este van por el mismo camino

    • Caso cerrado para ti...

      estas cometiendo un error garrafal al decir que el numero 0.9999999... tiene n decimales, en realidad tiene infinitos decimales!!!!

      y por supuesto al multiplicarlo x 10, tendria uno menos, pero INF - 1 = INF.

      esta claro que ninguno de los que refutan este hecho van a cambiar de opinion, pero alla uds por no creer en algo que a simple vista es muy obvio y cierto.

      La unica comparacion posible que tengo, y me disculpan si los ofendo, es la de las personas del milenio pasado que creian ciegamente que la tierra es plana, cuando Colon y muchos navegantes demostraron certeramente de que es esferica...

      y no se donde lo ley pero es verdad:
      "hacer que alguien crea en esto es como querer que cambie de religion"

    • Ese es el caso querido amigo, es una cifra infnita por lo tanto no se puede sumarle ni restarle ni tampoco conocer su valor exacto, ya que este resultado tambien sera infinito.
      Es muy simple darse cuenta del error.
      saludos!

      • En realidad no estás entendiendo el concepto de fondo. Sin ánimo de ofender te digo que estás basando toda tu lógica en un argumento errado.

        • inf - inf = inf ; inf - inf~=0
          simple

          • con esto acabas de demostrar q no tienes ni idea de lo que estas hablando...

            INF - INF = ?

            es decir, no se sabe con certeza cuanto es el resultado, ES UNA INDETERMINACION

            no puedes afirmar que INF - INF = 0 (u otro resultado) por que no conoces el valor de INF.

  • Eso lo leí hace un par de meses, me parece que fue en la wiki! =S

  • No son iguales, pues por el simple hecho de que las igualdades se realizan con respecto a una asíntota, lo que en realidad no lo hace una igualdad.

    • Claro que son IGUALES, porque NO EXISTE una DIFERENCIA entre ambos numeros.

      Esto se explica fácil de la siguiente forma:

      ¿Cuál es la diferencia entre 1 y 0.999...?

      Tal diferencia NO EXISTE.

      Comprobemos:

      La diferencia entre 1 y 0.9 es 0.1, la diferencia entre 1 y 0.99 es 0.01, la diferencia entre 1 y 0.999 es 0.001, la diferencia entre 1 y 0.9999 es 0.0001. Es decir, la diferencia EXISTE en el último 9.
      ¿Cuál es el último 9 de 0.999...? Al ser un número infinito, NO EXISTE un último 9. Por ende, si no existe un último 9, TAMPOCO EXISTE una Diferencia.

      Por ello, 1 y 0.999... son EXACTAMENTE LO MISMO, ya que NO EXISTE UNA DIFERENCIA entre ambos.

  • Eso quiere decir que el cero equivaldría a cualquier numero del universo matemático. Lo que el nueve necesite.

  • Alguien dijo alguna vez "Dios es matematica" sigan tratando de alcanzar la zanahoria.

  • JAJJAJAJAJJAJAjAJJAJAAJJA ya es hora de arrojar la BOMBA.
    0.777777777777.... = 1
    que no?
    Estudiense el sistema "octal".
    En el sistema octal solo se usan los numeros del 0 al 7.
    decir que 0.777777...=1 en octal o decir o.999999..=en el sistema decimal, es lo mismo, lo siento la conclusion es inevitable. en realidad estos casos son una ilución matematica creada por la ineficiencia de nuestros sistemas.

  • En la prueba de manipulación de dígitos, según mi análisis hay incongruencias, ya se aclaró que 0.111... tiende al infinito, no es lo mismo multiplicar 0.111 * 9, que 0.111... * 9, este último si es igual a 1, basta con coger una calculadora científica y realizar la operación para confirmarlo.

    En este sentido, al multiplicar la segunda línea de la operación en cada lado de la igualdad por 10, resultaría en 10x = 10.

    Tampoco concuerdo con la tercera línea, todos realizamos en algún momento de nuestros estudios ecuaciones de primer grado, si sumamos, restamos, multiplicamos, dividimos, etc, en un lado de la igualdad, se debe hacer lo mismo del otro lado de la igualdad, de hecho, de ahí viene el título de estas. En esta línea se resta -x en un lado, y al otro lado se resta -0.99.., cuando debería de restarse -x.

    Por otro lado sabemos que en la matemática el uso de 1/9 nos brinda la facilidad de no tener que operar un número decimal infinito, en todo caso, de usarse números decimales, se guardan en la memoria de una calculadora, para obtener el valor real y no tener que recurrir a márgenes de error o valores errados en nuestros cálculos.

    Créanme que par aun científico de la Nasa no será lo mismo usar un valor aproximado 0.1 a usar un 0.111... infinito obtenido en operaciones por computadoras, las cuales facilitan obtener resultados fiables en poco tiempo.

    • ERROR: si x es igual a 0.9999 periodico, entonces es lo mismo restar x que restar 0.9999 periodico. la manera correcta de escribirlo es usando una serie, o sea una sumatoria hasta infinito y de esa manera no admite ningun error de interpretacion. la unica razon por la que se escrie 0.9999... es para facilitar la notacion. la demostracion es correcta, y de hecho hay un TEOREMA que enuncia y tiene una muy simple edmostracion, por lo que es verdadero de aca a cuando se termine el universo y despues aun.

  • es muy simple, la respuesta se resume en estas ecuaciones:
    1/9=0.111... (tiende a infinito)
    0.111... (tiende a infinito) != 0.111...1
    mientras se tienda a infinito la ecuacion aplica si se le da un valor este valor es diferente a 1/9

  • Para mi 1=0.9... quien diga que no es igual que me diga la diferencia entre ambos y encantado cambio mi forma de pensar.

  • Si a = 1 y b = 1 entonces a = b.

    Multiplicando a ambos lados de la igualdad por b, tenemos:

    ab = b2

    Restando a ambos lados de la igualdad a2 tenemos:

    ab - a2 = b2 - a2

    Factorizando:

    a (b-a) = (a+b) (b-a)

    Y simplificando por el término (b-a):

    a = a + b

    Puesto que a = b, entonces la expresión es equivalente a:

    a = a + a

    Por lo tanto:

    a = 2a

    Entonces:

    1 = 2

    Es cierto esto?

  • 0.9=1a/b
    simplificando factore
    99=69 y don albert a. se rebuelca de donde esta =?)

  • Sin ofender a nadie, esto es una falacia del metodo cientifico, dado que esto se erige en utilizar la igualdad que es hipotesys como valida, lo cual no es asi, sino que deberias manipular el 1 hasta hacerlo igual al 0,9 periodico y no llevar el 0,9 periodico hacia el 1, toda igualdad significa que el camino es reversible, es decir que puede leerse de izquierda a derechaa, si bien lo que dices es algo que comunmente los profesores de matematica de las universidades utilizan para explicar el concepto de un infinitesimo, no quiere decir que eso sea valido, recorda que cualquier numero puede expresarse como si mismo mas un infinitesimo

  • 2/0=INFINITO=3/0...
    Por lo tanto queda demostrado que 2=3

    ...he seguido el mismo principio descuidado que en la demostracion de que 0,9999... = 1

  • Es cierto que 1=0.9999999999999999999.....
    Tu explicación es muy clara, pero pensar en infinitos no es algo fácil porque nuestra intuición se basa en nuestra experiencia cotidiana en la que nunca vemos objetos infinitos.
    Aunque muchos creen que el número de granos de arena es infinito y todas esas tonterías que se repiten sin pensar.

    Los que dudan de la veracidad de esta afirmación, deben leer la demostración de que la cardinalidad de los números reales es mayor que la de los números naturales.

    Supongo que también les parecerá increíble que existe la misma cantidad de números naturales que de números enteros (0 con positivos y negativos) y que de números racionales.

    Este resultado se ve en la prueba de que el conjunto de los números reales no es numerable, es decir que no se pueden contar 1,2,3,4,5,.... como los números enteros o los racionales.

    Busquen algún artículo sobre las demostraciones por diagonalización de Cantor, para entender porqué.

    Eliax (José Elías) cometió el error de poner: "El truco está en entender que existe más de una forma de representar un número, ..." en lugar de algo como "Ello se debe a que una cosa es el número y otra la manera de escribirlo, ..."
    Lo de "el truco" despierta sospechas.

  • JaJaJa...
    Es un juego muy conocido de la secundaria, hay muchas variantes. El truco, aquí sí cabe el término, es disfrazar que se está llegando a algo de la forma 0*m=0*2m y después simplificar factorizando el 0, lo que equivale a multiplicar por 1/0 en ambos lados de la ecuación, lo que es incorrecto por que el 0 no tiene inverso multiplicativo.

  • QUe bueno que estás convencido, pero tu argumento es erróneo, las calculadoras no usan números reales, usan números que en el argot de la computación se llaman de punto flotante.
    Tienen una precisión muy pequeña.

    Existen algunos lenguajes experimentales de programación que permiten una precisión arbitraria, pero no es posible hacer un cálculo con un número infinito de dígitos, porque el cómputo nunca se terminaría, en México muy pronto nos quedaríamos sin dinero para pagar el recibo de la energía eléctria tomando en cuenta las elevadísimas tarifas de la Comisión Federal de Electricidad (la compañía que provee la electricidad de México, supuestamente pública)

  • Que manera tan sencilla de plantear este resultado sin tener que hacer la construcción que usó Cantor para demostrar que los números Reales no se pueden contar con los números naturales.
    Yo conocía la demostración que de que la expansión decimal que infinitamente se va por la expansión infinita de 9s era equivalente al 1 en el intervalo [0,1].
    Mi respeto por tu capacidad de explicarlo sin recurrir a toda esa construcción de manera tan convincente.

  • Los comentarios anteriores son respuesta a otros comentarios, pero no se despliegan con un sangrado junto a éstos, por ello cabe aclarar la relación el comentario x es respuesta al comentario y en la siguiente lista:

    El #69 responde al #64 de Fernando
    #71 responde al #.....
    Ya no encuentro que otros comentarios contesté, hay muchos y no tengo mucho tiempo.

    Algo me queda claro, así como por ignorancia hay quien rebate que 1 y 0.999.... representan al mismo número real, el que llamamos Uno, y lo hacen con un fanatismo rabioso, lo mismo pasa en la Wikipedia donde hay artículos que han sido mutilados y han sido bloqueados por ignorantes que se apropian de algunos temas, creyendo tener la verdad. Un ejemplo era la discusión de lo que es una función, en que ni siquiera se ponen de acuerdo en si es lo mismo que una aplicación, yo ya desistí de colaborar con la wikipedia por esas necedades, pero qué se puede hacer con sistemas educativos tan deficientes en la enseñanza de las matemáticas y en general (al menos en México, donde se destruyó el sistema educativo)

  • Cabe aclarar que cualquier sucesión decimal que se repite infinitamente, representa a un número Racional, los Racionales son un subconjunto de los Reales. Aunque el hecho de que 1 = 0.999... puede aprenderse al ver las pruebas por diagonalización de Cantor, que tienen otro objetivo, probar que algún conjunto no es numerable. Lo que es independiente de la mentada igualdad, pero que se ve claramente en la construcción de los números Reales mediante su expansión decimal.
    Y cabe aclarar también que esto es cierto para cualquier expansión decimal que repita infinitamente el 9, por ejemplo 1.9999=2=DOS=Suc(Suc(0)), 0.129999...=013, etc.

  • nada de eso es correcto, a .9 le falta un decimo para llegar a 1, a .99 le falta un centésimo para llegar a 1, a .999 le falta un milésimo para llegar a uno.... mientras mas 9s coloques después del punto decimal menos hará falta para llegar a 1, pero siempre hará falta.....

    Pero según las reglas para redondear, .99999999 puede ser representado por el numero 1, nadie me podrá discutir que 99 centavos son 99 centavos y jamás podrá ser 1 dolar

  • el Universo se puede ver infinitamente grande como infimamente pequeño; lo mismo sucede con las matemáticas. un número solo es igual a si mismo. debe entenderse la tendencia de acercamiento de un número a otro

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"Mind-blowing."

por "Kamel" en abr 25, 2013


en camino a la singularidad...

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